2012 A题  葡萄酒的评价

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

2012 A题评阅要点

本题目希望学生利用数学模型和附件1-3中的数据对评酒员的品评结果给出分析，对酿酒葡萄的质量给出评价，并探讨葡萄和葡萄酒的理化指标与酒的质量的关系。

问题1. 附件1中给出的是评酒员对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒的两组品评结果。这两组评酒员各不相同，两组中的每个酒样都取自相同葡萄酒厂家的同一批次的产品。要求学生给出判断这两组评价结果好坏的原理、模型和方法，给出具体的结果，并对结果进行说明。好的品评结果应该是对同一酒样评价时这些评酒员之间的差距小、且这些酒样之间的区分度明确（注：一些学生的模型和方法仅考虑评酒员的打分差距）。参考：红酒中样品23是好酒，样品12是较差的酒。

问题2. 给出根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级的原则、模型、算法和结果。确定酿酒葡萄质量好坏的主要依据是问题1中评酒员对酒的质量的评价结果，根据这个评价结果和酿酒葡萄的各种理化指标给出确定葡萄质量的模型，由此给出这些酿酒葡萄的分级结果。参考：分级结果中好的红葡萄应包含样品23，差的应该包含样品12。

问题3. 给出分析酿酒葡萄与葡萄酒的成分之间关系的原理、模型和方法，得到葡萄酒的理化指标是否与葡萄的理化指标相关的结论，相关时给出具体的依赖关系。求解时最好先对葡萄的理化指标（包括芳香物质）进行分类和筛选，然后进行评价。注：仅把葡萄的全部理化指标进行简单回归不够完整。

问题4. 建立模型分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量之间的关系，在模型的基础上给出具体结论，并对结论给出详细的分析说明。注：评价葡萄酒质量时不一定需要包含所有的理化指标，但根据经验知道花色苷、总酚和单宁是红葡萄酒的重要指标。

2012 B题  太阳能小屋的设计

在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。

在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。

在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。

问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

2012 B题评阅要点

建模的准备工作：这部分是建模及解答的基础（集中或分散描述）

(1) 倾斜面总辐射强度的计算。这里涉及到：太阳时、时角、赤纬角、太阳高度角和太阳方位角等概念，还需要了解斜面的阳光直射辐射强度与散射辐射强度的计算。

(2) 附件4提供的辐射强度是离散数据，需要将数据连续化, 计算光照辐射量。

问题1：只考虑贴附安装方式建立数学模型及求解

(1) 建立模型: 单目标模型或多目标模型，可考虑发电总量、单位发电费用、经济效益和投资回收年限等。希望学生能够全面地分析问题，建立相应的优化模型。

(2) 模型求解: 要求给出求解方法的详细描述。

(3) 结果表述: 结果的表述、分析要清楚明确：要求给出电池铺设图及所配用的逆变器列表。例如，一种可行的铺设方式是：顶面可铺设40多块A3电池，南面可铺设30多块C10电池，西面可铺设C1和C10电池各10多块，东、北两面可不铺设（此例只是可行方案之一）。

问题2：考虑架空安装方式建立数学模型及求解

(1) 重点考虑屋顶上架空的光伏电池平面的最佳倾角，约为30多度。

(2) 其他要求同问题1.

问题3：小屋设计

(1) 需要计算南墙的最佳朝向, 光伏电池板的最优铺设。

(2) 根据计算结果，设计“最佳”小屋。

(3) 本问题重点是考查学生的创造性。

2012 C题  脑卒中发病环境因素分析及干预

脑卒中（俗称脑中风）是目前威胁人类生命的严重疾病之一，它的发生是一个漫长的过程，一旦得病就很难逆转。这种疾病的诱发已经被证实与环境因素，包括气温和湿度之间存在密切的关系。对脑卒中的发病环境因素进行分析，其目的是为了进行疾病的风险评估，对脑卒中高危人群能够及时采取干预措施，也让尚未得病的健康人，或者亚健康人了解自己得脑卒中风险程度，进行自我保护。同时，通过数据模型的建立，掌握疾病发病率的规律，对于卫生行政部门和医疗机构合理调配医务力量、改善就诊治疗环境、配置床位和医疗药物等都具有实际的指导意义。

数据（见Appendix-C1）来源于中国某城市各家医院2007年1月至2010年12月的脑卒中发病病例信息以及相应期间当地的逐日气象资料（Appendix-C2）。请你们根据题目提供的数据，回答以下问题：

1．根据病人基本信息，对发病人群进行统计描述。

2．建立数学模型研究脑卒中发病率与气温、气压、相对湿度间的关系。

3．查阅和搜集文献中有关脑卒中高危人群的重要特征和关键指标，结合1、2中所得结论，对高危人群提出预警和干预的建议方案。

2012 C题评阅要点

问题1.

1.1. 统计出发病人数在病人基本信息【包括性别，年龄段，职业：1-8 及其他】中的分布规律【如：百分比】，应说明缺失和误差数据的处理。

1.2. 分析发病率随年龄的变化规律【如：近似偏正态分布】。

[注：除了简单的统计描述或图形外，应有统计规律（可分情况）的提取及其理由的陈述或分析。]

问题2.

2.1. 将统计出的发病人数作为因变量，气温（气温差）、气压、相对湿度作为自变量建立统计回归模型【如：全变量的多元线性回归模型】，计算并报告模型中的参数估计、模型拟合误差、预测结果以及显著性变量等。

2.2. 应在2.1获得的显著变量基础上，考虑建立单因子统计模型【如：单因子线性、二次回归分析】、单因子方差分析等。

2.3. 应考虑建立条件统计模型【如：分别对男，女，农民，60≤年龄≤80, 发病人数≥60的情况建立线性回归模型】并进行相应分析讨论。

2.4. 应考虑异常值识别或剔除，模型的合理性，模型的检验或拓广。

[注：2.1中模型所用样本是按天的，应有模型拟合误差和预测的结果或分析；除了2.1外，在2.2, 2.3, 2.4中应有适当的工作，尤其是2.2，2.3。]

问题3.

3.1． 查阅文献资料，脑卒中的高危人群重要特征（危险因素）【如：高血压（最危险因素）、心脏病、短暂性脑缺血发作、糖尿病、高血脂、超重与肥胖、吸烟、长期过度饮酒、高盐（偏咸）饮食、缺少运动、性格（争强好胜的A型性格）、不可改变因素（如性别、年龄、遗传等）】以及诱发因素【如，过度紧张、激动、兴奋、愤怒和疲劳等】。

3.2. 关键指标（定量）：查文献给出上述（可测量）重要特征的定量指标【如：血压值、短暂性脑缺血发作（次数）、血糖值、血脂值、体重指数值、每日吸烟支数、每周饮酒次数、每日平均食盐量、每周锻炼次数、年龄等】。

3.3. 利用所建立的模型，预先以适当方式具体告诉或提醒具备脑卒中高危人群重要特征和关键指标的当事人在怎样的环境下【如：什么时间、年龄、气压、温度】最容易发病或发病率明显增长，并提出建议方案【如：发病人数与平均相对湿度呈负相关关系；在气压大于一定数值时，发病人数随气压升高而有增大；年龄在60到80的人群容易发病。对于上述环境因素，高危人群应注意防范】。

[注：3.3 的结论应根据问题1和2所得到的模型的结果来获得，应有量化结果。]

2012 D题  机器人避障问题

图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：

在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 ，其中 是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧

翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：

(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。

(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

2012 D题评阅要点

问题常见于计算机图形处理和机器人自动行走，其中二维和三维避障问题是热点课题。固定场景中的避障是其中较简单的情形，不涉及障碍物的移动和障碍物的识别。本问题的数学模型和求解算法份量基本相当。

1．预处理：将原始障碍物作适当扩大，确保不发生碰撞。在合理的假设下，要求预处理步骤清晰，说明适当，明确给出最后的处理结果。

2. 数学模型：必须明确建立路程最短和时间最少的优化模型，要给出明确的决策变量、目标函数和约束条件，表述准确全面。

3. 求解方法：机器人路径规划求解方法较多，尽量选择合适的求解方法和相应的算法，给出求解方法的思想，求解算法的步骤或流程图，并给出图形的预处理过程和描述。

4. 结果与分析：要有明确的数值结果和路线图，表达简明、清晰。最优路径应由直线段与圆弧光滑连接而成。例如，第一问的圆弧半径为10，第二问的圆弧半径需通过优化模型计算得到。例如，到B点距离最短的最优路径可参见图1，到A点时间最短的最优路径可参见图2。

5. 深入分析：本问题有较大的发挥空间，参赛者利用参考文献作深入分析时，可考虑适当加分。

（1）    讨论不同算法对2种最优结果的影响；

（2）    适当考虑直线行走与转弯之间时间延迟的影响；

（3）    适当扩充，讨论障碍物变形或不规则障碍物对最优结果的影响等；

（4）    适当扩充，定性讨论障碍物的适当移动或目标点的适当移动对结果的影响，或者定性讨论三维空间的情况等。