2014 A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1： 问题的背景与参考资料；
附件2： 嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；
附件3：距月面2400m处的数字高程图；
附件4：距月面100m处的数字高程图。
2014 A题评阅要点
对本问题应该给出合理的建模假设，譬如：惯性坐标、二体问题等，并加以分析说明。
问题1：在已知的条件下，确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度
（1）建立合理适用的坐标系。
（2）对嫦娥三号进行受力分析，建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如：微分方程等模型）。
（3）通过求解数学模型得出数值结果。
问题2：确定软着陆轨道与6阶段的控制策略由问题对着陆轨道6个阶段的要求，每个阶段都应给出起止状态（速度和位置）和最优控制策略（推力大小和方向），以满足各阶段起止状态的需求。
（1）建立各阶段的最优控制模型，明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。
（2）在粗避障和精细避障阶段选择落点时，需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素，确定最理想的着陆地点。
（3）各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题，可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题）求解得出合理的数值结果，即最优的控制策略。
（4）若未按题目要求按6阶段设计最优控制策略，而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法，不能视为较好的论文。
问题3：着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括：
（1）着陆准备轨道参数（近月点位置和速度）的误差；
（2）分阶段分析发动机推力（大小和方向）的控制误差；
（3）模型的简化假设、模型的近似与求解过程等综合分析误差；
如果能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析，应给予肯定。
2014 B题 创意平板折叠桌
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
图1
图2
图3
图4
2014 B题评阅要点
本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算能力。
问题 1. 对于给定的材料和设计目标建模。要求模型能表达从平板到最终桌子成形 的变化过程。可以用每根木条的动态变化过程的函数形式表达，也可以用直纹面的参数 形式表达。同时要求明确给出桌腿木条开槽的长度等设计加工参数。桌子成形后的桌腿 边缘线可以用离散的点表达（如每根木条下端中点的空间坐标） ，也可用连续的曲线方 程表达（如木条下端中点所在的空间曲线方程） 。寻求连续的曲面和曲线方程的方案应 给予鼓励。钢筋应理解为没有弹性、不可弯曲的直线。
问题 2. 本小题限定为长方形平板材料和圆形桌面。要求先就任意给定的桌子高度 和桌面直径建立模型，然后再对桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的特例给出计算结果。合 理的稳固性指标建立是问题的关键之一，需要对桌脚进行受力分析。应给出最优的平板 长度、钢筋位置和开槽长度，以保证可行性、稳固性，并降低成本。
问题 3. 本小题没有限定平板材料和桌面的形状，但基于美观性的考虑，折叠后桌 腿的外形应呈直纹曲面，而不应是平面。同时，钢筋是必须的，且为直线，否则很难实 现折叠桌的使用方便和产品稳固性。通过问题 1 和问题 2 的解决，可以初步掌握折叠桌 高度、桌面边缘线和桌脚边缘线与平板材料及设计参数之间关系的规律。由于客户画的 桌面和桌脚边缘线形状有随意性，为了加工的可行性，两条边缘线须有一定的关联（但 不应限定材料为长方形） 。所建模型应能对客户画的两条边缘线做适当修正，并在此基 础上给出加工参数。结果要求参赛队给出有创意的产品设计和设计理念，并作出至少 8 张动态变化过程的示意图。
注：本课题来自荷兰设计师 Robert van Embricqs 的创意。如果参赛队给出的产品是网上已有的，不应认为是好的结果。
2014 C题 生猪养殖场的经营管理
某养猪场最多能养10000头猪，该养猪场利用自己的种猪进行繁育。养猪的一般过程是：母猪配种后怀孕约114天产下乳猪，经过哺乳期后乳猪成为小猪。小猪的一部分将被选为种猪（其中公猪母猪的比例因配种方式而异），长大以后承担养猪场的繁殖任务；有时也会将一部分小猪作为猪苗出售以控制养殖规模；而大部分小猪经阉割后养成肉猪出栏（见图1）。母猪的生育期一般为3～5年，失去生育能力的公猪和母猪将被无害化处理掉。种猪和肉猪每天都要消耗饲料，但种猪的饲料成本更高一些。养殖场根据市场情况通过决定留种数量、配种时间、存栏规模等优化经营策略以提高盈利水平。请收集相关数据，建立数学模型回答以下问题：
图1. 猪的繁殖过程
1. 假设生猪养殖成本及生猪价格保持不变，且不出售猪苗，小猪全部转为种猪与肉猪，要达到或超过盈亏平衡点，每头母猪每年平均产仔量要达到多少？
2. 生育期母猪每头年产2胎左右，每胎成活9头左右。求使得该养殖场养殖规模达到饱和时，小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数，并结合所收集到的数据给出具体的结果。
3. 已知从母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间。假设该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线如图2所示，请根据此价格预测确定该养猪场的最佳经营策略，计算这三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。
图2 三年价格预测曲线
横坐标说明：以开始预测时为第一年，D2表示第二年，依次类推。
2014 C题评阅要点
本题要求根据生猪预测价格，建立大型生猪养殖场的经营管理模型，从而求出较合理的经营管理策略。本题目主要考察学生对一个涉及因素较多且随时间动态变化的实际问题的建模能力，以及根据这个模型作出合理决策的能力。
问题1. 最小平均产仔量问题
本问题关键是建立收支平衡方程，然后根据此方程求出每头母猪每年平均产仔量与各种成本参数以及生猪价格参数之间的关系，有明确的最终关系表达式为佳。评阅时需注意有无遗漏收入或成本因素的情形。本问不要求给出具体数值结果。
问题2. 最大规模平衡态问题
本问题主要是根据养殖场规模，计算小猪转化为母猪的比例，使达到最大养殖规模且保持动态平衡。在求数值结果时，需要对母猪生育年限作出具体约定， 从而结果有一定的变化范围，小猪转化为母猪的比例应当在0.8%~2%之间较为合理，母猪存栏数在1000头左右。
问题3. 经营管理模型及策略问题
本问题要求在已知9个月后预测价格条件下，寻求养殖场较合理的经营管理策略，这是本题的核心问题。应有明确的优化策略。母猪存栏数以及育龄母猪配种率直接影响大约9个月后的生猪存栏数，从而影响利润率，所以这是本问题要考虑的关键因素。在利用题目所给的生猪价格预测曲线时，预测区间取为9个月较为切合实际。并且，预测价格与实际价格之间肯定存在一定的偏差，如果在建模时能够将这种偏差纳入策略选择考虑，则更佳。
评阅时应考察各种成本参数取值是否在合理范围内，以及猪苗出售价格是否合理。在参数合理取值的条件下，平均年利润的合理范围大约为：400万~700万，过低则优化不足，过高应检查假设及参数取值是否过于脱离实际。解决本问题的方法之一是：建立分时段的母猪、小猪及肉猪数量之间的递推关系式，然后通过仿真比较不同策略下的利润率，寻求较合理的经营管理策略。
2014 D题 储药柜的设计
储药柜的结构类似于书橱，通常由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽(如图1所示)。为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。药品在储药槽中的排列方式如图2所示。药品从后端放入，从前端取出。一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3所示。
为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。
1. 药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。请利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。
2. 药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。仍利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。
3. 考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。在问题2计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。
4. 附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，请计算每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。
图1 储药柜立体示意图
图2 储药柜的侧剖面及药品摆放示意图
图3 储药槽药品摆放情况
2014 D题评阅要点
本题目来自于实际问题，主要考核学生关于空间结构分析与优化计算的能力。
问题1. 仅考虑竖向隔板间距类型最少的方案。
本问题要求学生给出防止卡挤、药盒并排重叠、平面旋转和侧翻的约束条件，并根据这些约束条件计算出竖向隔板间距类型最少的方案。
竖向隔板间距类型最少的方案是4种，但考虑到学生可能选择不同的建模方法，因此4至6种均可以认为是正确的。注意：除给出类型的数量外，还需要给出每一种类型间距的具体宽度、包含药盒的数量和规格（如最小宽度、最大宽度等）。
问题2. 同时考虑总宽度冗余最小和纵向间距类型的数量最少。
这是一个多目标问题，主要考核学生如何权衡两个相互矛盾的目标。学生需要给出宽度冗余的定义，再根据这个定义，计算出宽度冗余与竖向隔板间距类型数量之间的关系，由这种关系来确定间距类型的数量。
本问题重点考查宽度冗余与隔板间距数量之间的关系，学生给出的隔板间距数量应有合理的解释，并非基于两个目标的简单加权求和。参考答案可以在10至16种之间，只要给出合理的解释即可。与问题1类似，在给出竖向隔板间距的类型数量后，还需要给出每一种类型间距的具体宽度，以及包含药盒的数量与规格。
问题3. 同时考虑总平面冗余最小和横向间距类型的数量最少。
这一个问题与问题2类似，并在问题2的基础上完成。同样需要定义平面冗余，以及确定平面冗余与横向隔板间距的类型数量之间的关系，确定横向隔板间距的类型数量。
横向隔板间距的类型在19种以下均满足1.5m的高度要求，所以具体的答案需要有合理的解释。在给出类型数量后，还需要给出每一种类型间距的具体高度，以及包含药盒的数量与规格（如最小高度、最大高度等）。
问题4. 考虑药品的日需要量。
这一个问题是前面问题的扩充。对于问题（1），只需将总长度（1.5m）与药盒长度相除，将一种药品看成多种药品即可。问题（2）由学生发挥，只要提出有利于空间利用率的方案即可。
